Régua e compasso - I

Construções geométricas - uma pequena introdução.

A partir do século V a.C., os matemáticos gregos desenvolveram uma parte da Matemática, intimamente ligada à Geometria, conhecida como Construções Geométricas com Régua e Compasso. Euclides de Alexandria (300 a. C.), autor da obra "Os Elementos", foi o primeiro a dar uma consistência teórica a tudo de Matemática que havia sido registrado até o momento. Utilizando apenas a régua não graduada e o compasso, realizou as construções geométricas fundamentais para a axiomatização da Geometria. A partir daí, o critério para ser admitida uma verdade matemática deixou de ser a experimentação e passou a ser a demonstração.

Os problemas de construções geométricas são muito interessantes e alguns deles devem ser enfrentados por quem está interessado em Geometria (algumas carreiras de nível superior, possuem como parte de seu processo de admissão, algumas práticas em construções geométricas).

Para resolver problemas de construções geométricas, além de lápis e papel, utilizaremos dois instrumentos para desenhar figuras: um compasso e uma régua (com ou sem escala - lembrando que nem sempre os valores das medidas são utilizados). O compasso será utilizado para desenhar circunferências e a régua, para traçar retas, segmentos de reta ou semi-retas. Serão utilizadas apenas as seguintes operações (que se justificam pelos axiomas da Geometria Euclidiana):

I. Traçar uma reta por dois pontos conhecidos.

II. Desenhar uma circunferência, dados o seu centro e o seu raio.

III. Marcar os pontos, quando houver, de intersecção de duas linhas (duas retas, duas circunferências ou uma reta e uma circunferência).

Para simplificar as construções, é comum desenharmos apenas arcos de circunferência em vez de circunferências, além de segmentos de retas e semi-retas em vez de retas. Entretanto, há situações em que essa prática pode ocultar soluções válidas de um problema, sendo necessária a devida atenção para evitar isso (em vários procedimentos daremos destaque para as soluções que não sejam únicas).

Uma construção geométrica consiste numa sequência finita de pelo menos uma dessas operações. Iremos desenvolver um procedimento adequado para descrever os passos de uma construção. Mas o mais importante são os conceitos, idéias e teoremas geométricos envolvidos na resolução dos problemas.

Planilha com links de acesso aos procedimentos realizados com o Geogebra e com as construções geométricas fundamentais (régua e compasso):